Question

【題目】已知函數f（x）=lnx﹣ax+1（a∈R）．
（1）若函數f（x）的圖象在x=1處的切線l垂直于直線y=x，求實數a的值及直線l的方程；
（2）求函數f（x）的單調區間；
（3）若x＞1，求證：lnx＜x﹣1．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=lnx﹣ax+1（a∈R），定義域為（0，+∞），

∴ ，

∴函數f（x）的圖象在x=1處的切線l的斜率k=f′（1）=1﹣a，

∵切線l垂直于直線y=x，

∴1﹣a=﹣1，∴a=2，

∴f（x）=lnx﹣2x+1，f（1）=﹣1，

∴切點為（1，﹣1），

∴切線l的方程為y+1=﹣（x﹣1），

即x+y=0

（2）解：由（1）知： ，x＞0

當a≤0時， ，此時f（x）的單調遞增區間是（0，+∞）；

當a＞0時，

若 ，則f′（x）＞0；若 ，則f′（x）＜0，

此時，f（x）的單調遞增區間是 ，單調遞減區間是 ，

綜上所述：

當a≤0時，f（x）的單調遞增區間是（0，+∞）；

當a＞0時，f（x）的單調遞增區間是 ，單調遞減區間是

（3）解：由（2）知：當a=1時，f（x）=lnx﹣x+1在（1，+∞）上單調遞減，

∴x＞1時，f（x）＜f（1）=ln1﹣1+1=0，

∴x＞1時，lnx﹣x+1＜0，即lnx＜x﹣1

【解析】（1）求出函數的導數，根據切線的斜率求出a的值，從而求出函數的切點，求出切線方程即可；（2）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；（3）由a=1時，f（x）=lnx﹣x+1在（1，+∞）上單調遞減，得到f（x）＜f（1），從而證明結論．
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．