Question

已知無窮數列中，、 、、構成首項為2，公差為－2的等差數列，、、、，構成首項為，公比為的等比數列，其中，.
（1）當，，時，求數列的通項公式；
（2）若對任意的，都有成立．
①當時，求的值；
②記數列的前項和為．判斷是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）數列的通項公式為；
（2）①的值為或；②詳見解析.

試題分析：（1）根據數列的定義求出當時數列的通項公式，注意根據的取值利用分段數列的形式表示數列的通項；（2）①先確定是等差數列部分還是等比數列部分中的項，然后根據相應的通項公式以及數列的周期性求出的值；②在（1）的基礎上，先將數列的前項和求出，然后利用周期性即可求出，構造，利用定義法求出的最大值，從而確定和的最大值，進而可以確定是否存在，使得.
試題解析：（1）當時，由題意得，                  2分
當時，由題意得，                    4分
故數列的通項公式為                5分
（2）①因為無解，所以必不在等差數列內，
因為，所以必在等比數列內，且等比數列部分至少有項，
則數列的一個周期至少有項，                           7分
所以第項只可能在數列的第一個周期或第二個周期內，
若時，則，得，
若，則，得，
故的值為或                                 9分
②因為，，
所以，               12分
記，則，
因為，所以，即，           14分
故時，取最大，最大值為，
從而的最大值為，不可能有成立，故不存在滿足條件的實數     16分項和、數列的周期性、數列的單調性