Question

【題目】已知函數y=f（x）是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f（x）=2x﹣x2 ．
（1）求x＜0時f（x）的解析式；
（2）問是否存在正數a，b，當x∈[a，b]時，g（x）=f（x），且g（x）的值域為[ ， ]？若存在，求出所有的a，b的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設x＜0，則﹣x＞0，

∵當x≥0時，f（x）=2x﹣x2，∴f（﹣x）=﹣2x﹣x2，

∵f（x）是定義在R上的奇函數，∴f（x）=﹣f（﹣x）=x2+2x，

∴當x＜0時，f（x）=x2+2x

（2）解：由題得，g（x）=﹣x2+2x，

當0＜a＜b＜1時， ，解得a=b= ，不合題意，舍去；

當0＜a＜1≤b時，g（x）的最大值為g（1）=1= ，∴b=2，

又g（b）=g（2）=0[ ， ]，

∴b=2不合題意，舍去；

當1≤a＜b時， ，無解，舍去．

綜上，不存在正數a，b的值滿足題意

【解析】（1）由題意，函數y=f（x）是定義在R上的奇函數，x≥0時，f（x）=2x﹣x2 ， 要求x＜0時，f（x）的解析式，可選取x＜0，得到﹣x＞0，代入x≥0時時的解析式，得到f（﹣x），再由f（﹣x）=﹣f（x），兩者聯立，即可求得x＜0時，f（x）的解析式，（2）由題意，x＞0時，g（x）=﹣x2+2x，分類討論，結合g（x）的值域為[ ， ]，即可得出結論．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數奇偶性的性質(在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇)．