Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面為梯形， 底面， .過作一個平面使得平面.

（1）求平面將四棱錐分成兩部分幾何體的體積之比；

（2）若平面與平面之間的距離為，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）或.（2）

【解析】試題分析：（1）設平面與直線分別交于，因為平面，所以，可得分別是的中點，根據棱錐的體積公式可得，從而可得平面將四棱錐分成兩部分幾何體的體積之比；（2）因為兩兩垂直，以為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標系，分別求出直線的方向向量以及平面的一個法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得直線與平面所成角的正弦值.

試題解析：（1）記平面與直線.

因為，所以.

由已知條件易知，又因.

所以

可得

所以.

即平面將四棱錐分成兩部分幾何體的體積之比為.

（2）建立直角坐標系，記

則

因為平面的法向量

設 得，

取得平面.

由條件易知點到平面距離.即.

所以.直線與平面所成角滿足

【方法點晴】本題主要考查棱錐的體積公式以及利用空間向量線面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理結論求出相應的角和距離.