Question

（2009•襄陽模擬）已知數列{a_n}的前n項和S_n是二項式（1+2x）²ⁿ（n∈N^*）展開式中含x奇次冪的系數和．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設f（n）=

4

9an+12

，求c_n=f（0）+f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n

n

），求

1

c1c2

+

1

c2c3

+…+

1

cncn+1

的值．

Answer 1

分析：（1）記（1+2x）²ⁿ=a₀+a₁x+…+a_2nx²ⁿ，利用賦值可分別令x=1得：3²ⁿ=a₀+a₁+…+a_2n，令x=-1得：1=a₀-a₁+a₂-a₃+…-a_2n-1+a_2n兩式相減得：3²ⁿ-1=2（a₁+a₃+…+a_2n-1），從而可求
（2）由（1）可得 f(n)=

4

4×9n+12

=

1

9n+3

，注意到f（n）+f（1-n）=

1

3

，從而可考慮利用倒序相加求和，再利用裂項法可求

1

c1c2

+

1

c2c3

+…+

1

cncn+1

的值

解答：（1）解：記（1+2x）²ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_2n-1x^2n-1+a_2nx²ⁿ
令x=1得：3²ⁿ=a₀+a₁+a₂+…+a_2n-1+a_2n
令x=-1得：1=a₀-a₁+a₂-…-a_2n-1+a_2n
兩式相減得：3²ⁿ-1=2（a₁+a₃+…+a_2n-1）
∴S_n=

1

2

（9ⁿ-1）（4分）
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=4×9^n-1當n=1時，a₁=S₁=4，適合上式
∴a_n=4×9^n-1（n∈N）    （6分）
（2）解：f（n）=

4

4×9n+12

=

1

9n+3

注意到f（n）+f（1-n）=

1

9n+3

+

1

91-n+3

=

1

9n+3

+

9n

9+3×9n

=

1

3

    （8分）
c_n=f（0）+f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n

n

），
可改寫為c_n=f（

n

n

）+f（

n-1

n

）+…+f（

1

n

）+f（0）
∴2c_n=[f（0）+f（

n

n

）]+[f（

1

n

）+f（

n-1

n

）]+…+[f（

n-1

n

）+f（

1

n

）]+[f（

n

n

）+f（0）]
故c_n=

n+1

6

，即f（0）+f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n

n

）=

n+1

6

   （8分）
∴

1

cncn+1

=

36

(n+1)(n+2)

=36×（

1

n+1

-

1

n+2

）

1

c1c2

+

1

c2c3

+…+

1

cncn+1

=36×[（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n+1

-

1

n+2

）    （12分）
=36×（

1

2

-

1

n+2

）]=18-

36

n+2

（14分）

點評：本題以數列為載體，主要考查了利用賦值法求二項展開式的系數，及數列求和中的倒序相加、裂項求和等方法的應用．