Question

（2009•襄陽模擬）在如圖所示的四面體ABCD中，AB、BC、CD兩兩互相垂直，且BC=CD=1．
（1）求證：平面ACD⊥平面ABC；
（2）求二面角C-AB-D的大小；
（3）若直線BD與平面ACD所成的角為θ，求θ的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證平面ACD⊥平面ABC，只需證明平面ACD內的直線CD，垂直平面ABC內的兩條相交直線AB，BC，即可證明CD⊥平面ABC，從而證明平面ACD⊥平面ABC．
（Ⅱ）說明∠CBD是二面角C-AB-D的平面角，解Rt△BCD，求二面角C-AB-D的大小；
（Ⅲ）過點B作BH⊥AC，垂足為H，連接DH，則∠BDH為BD與平面ACD所成的角，解Rt△BHD即可確定∠BDH（θ）正弦值的范圍，進而得到θ的取值范圍．

解答：證明：（1）∵CD⊥AB，CD⊥BC，AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC
又∵CD?平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC
解：（2）∵AB⊥BC，AB⊥CD，∴AB⊥平面BCD，故AB⊥BD
∴∠CBD是二面角C-AB-D的平面角
∵在Rt△BCD中，BC=CD，∴∠CBD=45°
即二面角C-AB-D的大小為45°
（3）過點B作BH⊥AC，垂足為H，連接DH，∵平面ACD⊥平面ABC，
∴BH⊥平面ACD，∴∠BDH為BD與平面ACD所成的角
設AB=a，在Rt△BHD中，BD=

2

，
BH=

AB•BC

AC

=

a

1+a2

∴sinθ=

BH

BD

=

a

2+2a2

=

1

2+ 2 a2

＜

2

2

，
又0＜θ＜

π

2

，
∴0＜θ＜

π

4

點評：本題考查平面與平面垂直的判定，直線與平面所成的角，二面角及其度量，考查邏輯思維能力，轉化思想，是中檔題．熟練掌握空間線面關系的判定定理及性質定理，及線面夾角和二面角的定義是解答此類問題的關鍵．