Question

如圖，已知E，F分別是正方形ABCD邊BC、CD的中點，EF與AC交于點O，PA，NC都垂直于平面ABCD，且PA＝AB＝4，NC＝2，M是線段PA上的一動點．
(1)求證：平面PAC⊥平面NEF；
(2)若PC∥平面MEF，試求PM∶MA的值；
(3)當M的是PA中點時，求二面角M－EF－N的余弦值．

Answer 1

解：法1：（1）連結，
∵平面，平面，
∴，……………………… 1分
又∵，，
∴平面，…………………. 2分
又∵，分別是、的中點，
∴，………………………….3分
∴平面，又平面，
∴平面平面；……………4分
（2）連結，
∵平面，平面平面，
∴，
∴，故 ………………………………………8分
（3）∵平面，平面，∴，
在等腰三角形中，點為的中點，∴，
∴為所求二面角的平面角， ……………………………9分
∵點是的中點，∴，
所以在矩形中，
可求得，，，………………………10分
在中，由余弦定理可求得，
∴二面角的余弦值為．……………………………………12分
法2：（1）同法1；
（2）建立如圖所示的直角坐標系，則，，，，
∴，，
設點的坐標為，平面的法向量為，則，
所以，即，令，則，，
故，
∵平面，∴，即，解得，
故，即點為線段上靠近的四等分點；
故 …………………………………………………………………8分
（3），則，設平面的法向量為，
則，即，………9分
令，則，，
即，……………………………10分
當是中點時，，
則，
∴，
∴二面角的余弦值為．……12分

略