Question

【題目】對哪些正整數n，存在正整數 m 及正整數，使得？其中可以相同，且.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

先設 n ≥12 且n不滿足要求.設 m為偶數，

.

則，且

.

設 l為最小的正整數， 使得.令，其中，t、s為非負整數，.

由于n不滿足要求 ，故 r 不可表示為不超過 2l -1個平方和， 且其中每一個不超過.從而，s不可表為不超過個平方和.

當 l≥6 時，由，知.因此，t ≤6.

設為非負整數，.

由，知.

從而，.

若，則s可表為不超過4個平方和，，矛盾；

若，則s可給為不超過5個平方和，，矛盾；

若，則，s可給為不超過個平方和，矛盾.

因此，l≤5 .

當l=5 時 ，

.

設.則.

若 t = 7 ，則由 r ≤112 知 s =0 ，此時，r 可表為7個42之和， 矛盾 ；

若 t = 6 ，驗證知當 0 ≤s ≤15 ， s ≠7，15時，s可表為 3個平方和，又

，

，矛盾.

當 l =4 時， 2l-1 =7，

.

若 t ≤4，s ≠7，

則由 s 可表為不超過 3個平方和， 3 ≤2l -1 -t ，矛盾；

若 1 ≤t ≤4，s =7 ，

則，矛盾；

若 t = 0 ， s = 7 ，

則 r 可表為 7個12之和，矛盾 .

因此 ， t ≥5.

從而，，

.

當l ≤3 時，.

下面只要考慮 n ≤67.

由于， 故只要考慮 m ≤9 .

表1

m	a（m - a）可能取值	m - 1個形如 a（m - a）之和且小于或等于 67
9	8，14，18，20	64
8	7，12，15，16	49，54，57，58，59，62，63，64，65，66，67
7	6，10，12	36，40，42，44，46，48，50，52，54，56，58，60，62，64，66
6	5，8，9	25，28，29，31，32，33，34，35，36，37，38，39，40，41，42，43，44，45
5	4，6	16，18，20，22，24
4	3，4	9，10，11，12
3	2	4
2	1	1

查表 1知不滿足要求的 n 為：2 ， 3 ， 5 ， 6 ，7 ， 8 ， 13 ， 14 ， 15 ， 17 ， 19 ， 21 ， 23 ， 26 ， 27 ， 30 ， 47 ， 51 ，53 ， 55 ， 61 ，其余 n 均滿足要求.