Question

如圖，半徑R=3的球O中有一內接圓柱，設圓柱的高為h，底面半徑為r．
（Ⅰ）當h=4時，求圓柱的體積與球的體積；
（Ⅱ）當圓柱的軸截面ABCD的面積最大時，求h與r的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）作OO'⊥AB，利用圓柱的高和底面半徑之間的關系建立方程關系，求出圓柱的高和半徑，即可求圓柱的體積與球的體積；
（Ⅱ）根據基本不等式求出圓柱的軸截面ABCD的面積最大時的條件，即可求出h與r的值．

解答：解：（Ⅰ）當h=4時，OO'=

R2-r2

=

h

2

=2，
∴9-r²=4，r²=5，
∴球的體積為

4

3

π×33=36π，
圓柱的體積為πr²•h=4×5π=20π．
（Ⅱ）∵OO'=

R2-r2

=

9-r2

，
∴AD=h=2

9-r2

，
∴圓柱的軸截面ABCD的面積為2r•2

9-r2

=4

r2•(9-r2)

≤4

r2

•

9-r2

≤4×

r2+9-r2

2

=18，
當且僅當r²=9-r²，即r2=

9

2

，r=

3 2

2

時取等號，
此時h=2

9-r2

=2×

3 2

2

=3

2

．

點評：本題主要考查球的體積公式和圓柱的體積的計算，利用條件建立圓柱的高和球半徑之間的關系是解決本題的關鍵．