Question

已知函數g（x）="aln" x·f（x）=x³ +x²+bx
（1）若f（x）在區間[1，2]上不是單調函數，求實數b的范圍；
（2）若對任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x²+（a+2）x恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）當b=0時，設F（x）=，對任意給定的正實數a，曲線y=F（x）上是否存在兩點P，Q，使得△POQ是以O（O為坐標原點）為直角頂點的直角三角形，而且此三角形斜邊中點在y軸上？請說明理由．

Answer 1

（1）；（2）;（3）詳見解析.

試題分析：（1）先求函數的導數，因為在區間不單調，所以導函數的值不恒大于或小于0，即函數的最大值大于0，函數的最小值小于0，即不單調；
（2）根據條件化簡得，，，求出， 的最小值即可確定的范圍,首先對函數求導，確定單調性，求出最值；
（3）先假設曲線上存在兩點滿足題意，設出，則，從而由是以O（O為坐標原點）為直角頂點的直角三角形可建立關系式，分情況求解即可．
試題解析：（1）由
得   因在區間[1，2]上不是單調函數
所以在[1，2]上最大值大于0，最小值小于0

     ∴              4分
（2）由，得．
，且等號不能同時取，，即 
恒成立，即          6分
令，求導得，，
當時，，從而，
在上為增函數，，
．                      8分
（3）由條件，，
假設曲線上存在兩點，滿足題意，則，只能在軸兩側，  9分
不妨設，則，且．
是以為直角頂點的直角三角形，，
  （*），
是否存在，等價于方程在且時是否有解．
①若時，方程為，化簡得，此方程無解；       12分
②若時，方程為，即，
設，則，
顯然，當時，，即在上為增函數，
的值域為，即，當時，方程（*）總有解．
對任意給定的正實數，曲線 上總存在兩點，，使得是以（為坐標原點）為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上．    14分