Question

已知不等式x²-ax-b＜0
（1）當b=2a²時，解這個不等式；
（2）若不等式x²-ax-b＜0的解集是{x|-1＜x＜2}，求ax²+x-b＞0的解集．

Answer 1

分析：（1）把b=2a²代入不等式后，分a＞0，a=0，a＜0討論求解不等式；
（2）由不等式x²-ax-b＜0的解集是{x|-1＜x＜2}，借助于根與系數的關系求出a，b的值，代入不等式ax²+x-b＞0后求其解集．

解答：解：（1）當b=2a²時，不等式x²-ax-b＜0化為x²-ax-2a²＜0，
即（x+a）（x-2a）＜0，
若a=0，不等式化為x²＜0，解集為∅；
若a＞0，不等式的解集為{x|-a＜x＜2a}；
若a＜0，不等式的解集為{x|2a＜x＜-a}．
綜上，當a=0，不等式化為x²＜0，解集為∅；
當a＞0，不等式的解集為{x|-a＜x＜2a}；
當a＜0，不等式的解集為{x|2a＜x＜-a}．
（2）由不等式x²-ax-b＜0的解集是{x|-1＜x＜2}，
則a=-1+2=1，-b=-1×2=-2，
所以不等式ax²+x-b＞0化為x²+x-2＞0，
解得：x＜-2或x＞1，所以不等式的解集為（-∞，-2）∪（1，+∞）．

點評：本題考查了一元二次不等式的解法，考查了分類討論的數學思想，訓練了根與系數的關系，此題是中檔題．