Question

【題目】如圖，四邊形ABCD與BDEF均為菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC． （Ⅰ）求證：AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）求證：FC∥平面EAD；
（Ⅲ）求二面角A﹣FC﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：設(shè)AC與BD相交于點O， 連接FO．因為四邊形ABCD為菱形，所以AC⊥BD，且O為AC中點． …（1分）
又 FA=FC，所以 AC⊥FO．
因為 FO∩BD=O，
所以 AC⊥平面BDEF．
（Ⅱ）證明：因為四邊形ABCD與BDEF均為菱形，
所以AD∥BC，DE∥BF，
所以 平面FBC∥平面EAD．
又FC平面FBC，所以FC∥平面EAD．
（Ⅲ）解：因為四邊形BDEF為菱形，且∠DBF=60°，
所以△DBF為等邊三角形．
因為O為BD中點，所以FO⊥BD，故FO⊥平面ABCD．
由OA，OB，OF兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系O﹣xyz．
設(shè)AB=2．因為四邊形ABCD為菱形，∠DAB=60°，
則BD=2，所以O(shè)B=1， ．所以 ．
所以 ， ．
設(shè)平面BFC的法向量為 =（x，y，z），
則有 ，
取x=1，得 ．
∵平面AFC的法向量為 =（0，1，0）．
由二面角A﹣FC﹣B是銳角，得|cos＜ ， ＞|= = ．
所以二面角A﹣FC﹣B的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）設(shè)AC與BD相交于點O，連接FO．因為四邊形ABCD為菱形，所以AC⊥BD，且O為AC中點．由FA=FC，知AC⊥FO．由此能夠證明AC⊥平面BDEF．（Ⅱ）因為四邊形ABCD與BDEF均為菱形，所以AD∥BC，DE∥BF，平面FBC∥平面EAD．由此能夠證明FC∥平面EAD．（Ⅲ）因為四邊形BDEF為菱形，且∠DBF=60°，所以△DBF為等邊三角形．因為O為BD中點，所以FO⊥BD，故FO⊥平面ABCD．由OA，OB，OF兩兩垂直，建立空間直角坐標系O﹣xyz．設(shè)AB=2．因為四邊形ABCD為菱形，∠DAB=60°，則BD=2，所以 ， ．求得平面BFC的法向量為 ，平面AFC的法向量為 =（0，1，0）．由此能求出二面角A﹣FC﹣B的余弦值．