對于數列
，把
作為新數列
的第一項，把
或
（
）作為新數列的第
項，數列稱為數列的一個生成數列．例如，數列
的一個生成數列是
．已知數列為數列
的生成數列，
為數列的前
項和．
（1）寫出
的所有可能值；
（2）若生成數列滿足
，求數列
的通項公式；
（3）證明：對于給定的
，
的所有可能值組成的集合為
．
（1）
（2）
（3）詳見解析.
解析試題分析：（1）列舉出數列所有可能情況，共
種，分別計算和值為，本題目的初步感觀生成數列（2）已知和項解析式，則可利用
求通項. 當
時，
，而
當且僅當
時，才成立．所以（3）本題實際是對（1）的推廣.證明的實質是確定集合的個數及其表示形式.首先集合的個數最多有
種情形，而每一種的值都不一樣，所以個數為種情形，這是本題的難點，利用同一法證明. 確定集合的表示形式，關鍵在于說明分子為奇數.由
得分子必是奇數，奇數個數由范圍
確定.
試題解析：解：（1）由已知，
，
，
∴
，
由于
，
∴可能值為． 3分
（2）∵，
當
時，
，
當時，
，
，
， 5分
∵是
的生成數列，
∴
；
；
；
∴
在以上各種組合中，
當且僅當
時，才成立．
∴
． 8分
（3）
共有種情形．
，即，
又
，分子必是奇數，
滿足條件
的奇數
共有個． 10分
設數列
與數列為兩個生成數列，數列的前項和為，數列的前項和為
，從第二項開始比較兩個數列，設第一個不相等的項為第
項．
由于
，不妨設
，
則
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知數列
和
的通項公式分別為
，
.將與中的公共項按照從小到大的順序排列構成一個新數列記為
.
(1)試寫出
，
，
，
的值，并由此歸納數列的通項公式；
(2)證明你在（1）所猜想的結論.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
若數列{an}滿足an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，則稱數列{an}為“凸數列”．
(1)設數列{an}為“凸數列”，若a1＝1，a2＝－2，試寫出該數列的前6項，并求出前6項之和；
(2)在“凸數列”{an}中，求證：an＋3＝－an，n∈N*；
(3)設a1＝a，a2＝b，若數列{an}為“凸數列”，求數列前2011項和S2011.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
若無窮數列
滿足：①對任意
，
；②存在常數
，對任意，
，則稱數列為“
數列”.
（Ⅰ）若數列的通項為
，證明：數列為“數列”；
（Ⅱ）若數列的各項均為正整數，且數列為“數列”，證明：對任意，
；
（Ⅲ）若數列的各項均為正整數，且數列為“數列”，證明：存在
，數列
為等差數列.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知數列
的通項公式為
，數列
的前
項和為
，且滿足
．
（1）求的通項公式；
（2）在中是否存在使得
是中的項，若存在，請寫出滿足題意的其中一項；若不存在，請說明理由．
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中，
，對
總有
成立，
的值；
，并用數學歸納法證明
,用
表示
當
時的函數值中整數值的個數.
,求
.
,若
,求
的最小值.
滿足：
，且
，
．
；
an.