Question

已知函數(shù)．
（1）求f（x）的定義域和值域；
（2）證明函數(shù)在（0，+∞）上是減函數(shù)．

Answer 1

解：（1）要使函數(shù)的解析式有意義
自變量應(yīng)滿足x≠0
故f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）
由于≠0，則-2≠-2
故f（x）的值域為（-∞，-2）∪（-2，+∞）
（2）任取區(qū)間（0，+∞）上兩個任意的實數(shù)x₁，x₂，且x₁＜x₂，
則x₁＞0，x₂＞0，x₂-x₁＞0，
則f（x₁）-f（x₂）=（）-（）=-=＞0
即f（x₁）＞f（x₂）
故函數(shù)在（0，+∞）上是減函數(shù)
分析：（1）根據(jù)使函數(shù)的解析式有意義的原則，我們易求出函數(shù)的解析式，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，我們易求出函數(shù)的值域；
（2）任取區(qū)間（0，+∞）上兩個任意的實數(shù)x₁，x₂，且x₁＜x₂，我們作差f（x₁）-f（x₂），并判斷其符號，進而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，可得到結(jié)論．
點評：本題考查的知識點是函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，函數(shù)的定義域及其求法，函數(shù)的值域，其中熟練掌握基本初等函數(shù)的定義域，值域，及函數(shù)單調(diào)性的證明方法是解答本題的關(guān)鍵．