Question

【題目】已知數列的首項，.

（1）證明：數列是等比數列；

（2）求數列的前項和為.

Answer 1

【答案】(Ⅰ） ， ，

，又， ，

數列是以為首項，為公比的等比數列． …………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即， ……………7分

． ……………8分

設…， ① …………10分

則…，② ……………………11分

由①②得

…， ……12分

．又…． ……13分

【解析】試題分析：（1）由，可得，即可證明數列是等比數列；（2）由由（1）知， ，利用分組求和，再利用錯位相減法，即可求出數列的前項和.

試題解析：（1） ， ， ，又， ， 數列是以為首項，為公比的等比數列．

（2）由（1）知，即， ．設…， ① 則…，② 由①②得， ．又…． 數列的前項和 ．

【 方法點睛】本題主要考查根據遞推公式求數列的通項以及分組求和、錯位相減法求數列的前 項和，屬于中檔題.一般地，如果數列是等差數列，是等比數列，求數列的前項和時，可采用“錯位相減法”求和，一般是和式兩邊同乘以等比數列的公比，然后作差求解, 在寫出“”與“” 的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“”的表達式.