Question

【題目】已知動點P到定點F(1，0)和到直線x＝2的距離之比為，設動點P的軌跡為曲線E，過點F作垂直于x軸的直線與曲線E相交于A，B兩點，直線l：y＝mx＋n與曲線E交于C，D兩點，與線段AB相交于一點(與A，B不重合)．

(1)求曲線E的方程；

(2)當直線l與圓x2＋y2＝1相切時，四邊形ABCD的面積是否有最大值？若有，求出其最大值及對應的直線l的方程；若沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

解：(1)設點P(x，y)，由題意可得，

＝，

整理可得＋y2＝1.

∴曲線E的方程是＋y2＝1.

(2)設C(x1，y1)，D(x2，y2)，由已知可得|AB|＝.

當m＝0時，不合題意．

當m≠0時，由直線l與圓x2＋y2＝1相切，可得＝1，即m2＋1＝n2.

聯立消去y得x2＋2mnx＋n2－1＝0，

∴Δ＝4m2n2－4 (n2－1)＝2m2＞0，

則x1＝，x2＝，

∴S四邊形ACBD＝|AB||x2－x1|＝＝≤，

當且僅當2|m|＝，即m＝±時等號成立，此時n＝±，經檢驗可知，直線y＝x－和直線y＝－x＋符合題意．