Question

【題目】已知函數f（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣a|，a∈R．
（1）當a=3時，解不等式f（x）＞0；
（2）當x∈（﹣∞，2）時，f（x）＜0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）= ，

當x＞2時，1﹣x＞0，即x＜1，解得x∈；

當 ≤x≤2時，5﹣3x＞0，即x＜ ，解得 ≤x＜ ；

當x＜ 時，x﹣1＞0，即x＞1，解得1＜x＜ ；

綜上所述，不等式的解集為{x|1＜x＜ }

（2）解：當x∈（﹣∞，2）時，f（x）＜0恒成立2﹣x﹣|2x﹣a|＜0

2﹣x＜|2x﹣a|恒成立

2﹣x＜2x﹣a或2x﹣a＜x﹣2恒成立

x＞ 或x＜a﹣2恒成立，

∴當x∈（﹣∞，2）時，a＜3x﹣2①或a＞x+2②恒成立，

解①，a不存在；解②得：a≥4．

綜上知，a≥4

【解析】（1）依題意知，a=3時，f（x）= ，通過對x范圍的分類討論，解不等式f（x）＞0即可；（2）利用等價轉化的思想，通過分離參數a，可知當x∈（﹣∞，2）時，a＜3x﹣2或a＞x+2恒成立，從而可求得a的取值范圍．
【考點精析】掌握絕對值不等式的解法是解答本題的根本，需要知道含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號．