Question

【題目】已知橢圓： 的離心率為，且以兩焦點為直徑的圓的內接正方形面積為2．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若直線： 與橢圓相交于， 兩點，在軸上是否存在點，使直線與的斜率之和為定值？若存在，求出點坐標及該定值，若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】(1) (2) 存在點，使得為定值，且定值為0．

【解析】試題分析：（1）由橢圓的離心率為，且以兩焦點為直徑的圓的內接正方形面積為可得，解方程組即可的結果；（2）由得，根據韋達定理以及過兩點的直線的斜率公式可得，只需令，即可得結果.

試題解析：（1）由已知可得解得， ，

所求橢圓方程為．

（2）由得，

則，解得或．

設， ，

則， ，

設存在點，則， ，

所以 ．

要使為定值，只需 與參數無關，

故，解得，

當時， ．

綜上所述，存在點，使得為定值，且定值為0．