Question

【題目】已知函數f（x）=x2﹣4x+a+3，a∈R． （Ⅰ）若函數y=f（x）的圖象與x軸無交點，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若函數y=f（x）在[﹣1，1]上存在零點，求a的取值范圍；
（Ⅲ）設函數g（x）=bx+5﹣2b，b∈R．當a=0時，若對任意的x1∈[1，4]，總存在x2∈[1，4]，使得f（x1）=g（x2），求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵函數y=f（x）的圖象與x軸無交點， ∴方程f（x）=0的判別式△＜0，
∴16﹣4（a+3）＜0，解得a＞1，
∴a的取值范圍為（1，+∞）；
（Ⅱ）∵f（x）=x2﹣4x+a+3的對稱軸是x=2，
∴y=f（x）在[﹣1，1]上是減函數，
∵y=f（x）在[﹣1，1]上存在零點，
∴必有： ，即 ，
解得：﹣8≤a≤0，
故實數a的取值范圍為﹣8≤a≤0；
（Ⅲ）若對任意的x1∈[1，4]，總存在x2∈[1，4]，使f（x1）=g（x2），
只需函數y=f（x）的值域為函數y=g（x）值域的子集．
當a=0時，f（x）=x2﹣4x+3的對稱軸是x=2，∴y=f（x）的值域為[﹣1，3]，
下面求g（x）=bx+5﹣2b，x∈[1，4]的值域，
①當b=0時，g（x）=5，不合題意，舍
②當b＞0時，g（x）=bx+5﹣2b的值域為[5﹣b，5+2b]，只需要 ，解得b≥6
③當b＜0時，g（x）=bx+5﹣2b的值域為[5+2b，5﹣b]，只需要 ，解得b≤﹣3
綜上：實數b的取值范圍b≥6或b≤﹣3
【解析】（Ⅰ）根據題意，可以將問題轉化為二次函數對應的方程無實數根，利用△＜0列出不等關系式，求解即可得到a的取值范圍；（Ⅱ）根據二次函數的對稱軸為x=2，可以判斷出二次函數在去甲[﹣1，1]上的單調性，再根據零點的存在性定理列出不等式組，求解即可得到a的取值范圍；（Ⅲ）根據題意，將問題轉化為函數y=f（x）的值域為函數y=g（x）值域的子集，根據二次函數的性質，即可求得f（x）的值域，對于g（x），對其一次項系數進行分類討論，分別得到g（x）的值域，分別求解，即可得到b的取值范圍．
【考點精析】關于本題考查的二次函數的性質，需要了解當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減才能得出正確答案．