Question

求滿足下列條件的曲線方程：
（1）經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P(-2

3

，1)，Q(

3

，-2)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）與雙曲線

x2

9

-

y2

16

=1有公共漸近線，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-3，2

3

）的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（3）焦點(diǎn)在直線x+3y+15=0上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出橢圓方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，建立方程組，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）據(jù)共漸近線的雙曲線的方程的一般形式設(shè)出雙曲線的方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出待定系數(shù)λ，即得到要求的雙曲線方程．
（3）分焦點(diǎn)在x軸和y軸兩種情況分別求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)形式可得答案．

解答：解：（1）依題意，可設(shè)橢圓的方程為

x2

m

+

y2

n

=1（m＞0，n＞0），則
∴橢圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P(-2

3

，1)，Q(

3

，-2)，
∴

12

m

+

1

n

=1且

3

m

+

4

n

=1
∴m=15，n=5
∴經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P(-2

3

，1)，Q(

3

，-2)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

15

+

y2

5

=1；
（2）設(shè)所求雙曲線的方程為

x2

9

-

y2

16

=λ（λ≠0），
將點(diǎn)（-3，2

3

）代入得λ=

1

4

，
所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

4x2

9

-

y2

4

=1；
（3）令x=0得y=-5；令y=0得x=-15；
∴拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為：（-15，0），（0，-5）
當(dāng)焦點(diǎn)為（-15，0）時(shí)，即

p

2

=15，
∴p=30，此時(shí)拋物線方程為：y²=-60x：
當(dāng)焦點(diǎn)為（0，-5）時(shí)，即

p

2

=5，
∴p=10，此時(shí)拋物線方程為：x²=-20y；
故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y²=-60x 或x²=-20y．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．