Question

【題目】已知 =（sinx，cosx）， =（sinx，k）， =（﹣2cosx，sinx﹣k）．
（1）當x∈[0， ]時，求| + |的取值范圍；
（2）若g（x）=（ + ） ，求當k為何值時，g（x）的最小值為﹣ ．

Answer 1

【答案】
（1）解： =（sinx﹣2cosx，sinx），

| |2=（sinx﹣2cosx，sinx）2

=2sin2x﹣4sinxcosx+4cos2x

=2cos2x﹣4sinxcosx+2

=cos2x﹣2sin2x+3

= cos（2x+φ）+3，其中，tanφ=2，

又∵x∈[0， ]，

∴ ，

∴ 在 上單調遞減，

∴| cos（2x+φ）|2∈[1，4]，

∴| + |∈[1，2]．

（2）解： =（2sinx，cosx+k），

g（x）=（ ）

=﹣4sinxcosx+（cosx+k）（sinx﹣k）

=﹣3sinxcosx+k（sinx﹣cosx）﹣k2

令t=sinx﹣cosx= sin（x﹣ ），

則t∈[﹣ ， ]，且t2=sin2x+cos2x﹣2sinxcosx=1﹣2sinxcosx，

所以 ．

所以g（x）可化為 ，

對稱軸 ．

①當 ，即 時， ，

由 ，得 ，

所以 ．

因為 ，

所以此時無解．

②當 ，即 時， ．

由﹣ ﹣ =﹣ ，得k=0∈[﹣3 ，3 ]．

③當﹣ ，即k＜﹣3 時，

g（x）min=h（ ）=﹣k2+ k+ ，

由﹣k2+ k+ =﹣ ，得k2﹣ k﹣3=0，

所以k= ．

因為k ，所以此時無解．

綜上所述，當k=0時，g（x）的最小值為﹣ ．

【解析】（1）由已知利用平面向量的坐標運算可得 =（sinx﹣2cosx，sinx），利用三角函數恒等變換的應用可得| |2= cos（2x+φ）+3，其中，tanφ=2，又x∈[0， ]，可求 ，利用余弦函數的單調性即可得解| + |的取值范圍；（2）利用平面向量數量積的運算可得g（x）=﹣3sinxcosx+k（sinx﹣cosx）﹣k2 ， 令t=sinx﹣cosx= sin（x﹣ ），則g（x）可化為 ，對稱軸 ．利用二次函數的圖象和性質分類討論即可得解．