Question

已知函數 f（x）=x²+2lnx+aln（1+x²）．
（I）若a=-

9

2

求f（x）的極值；
（II）已知f（x）有兩個極值點x₁，x₂，且x₁＜x₂
（i） 求a的取值范圍
（ii）求證：f（x₁）＜1-4ln2
（III） a=0時，求證[f'（x）]ⁿ-2^n-1f'（xⁿ）≥2ⁿ（2ⁿ-2）

Answer 1

分析：（I）a=-

9

2

時求出導數f′（x），在定義域內解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，由導數符號即可求得其極值；
（II）（i）求導數f′（x）=

2[x4+(a+2)x2+1]

x(x2+1)

，令t=x²，問題轉化為方程t²+（a+2）t+1=0有兩個不同正根，從而有

△=(a+2)2-4＞0 - a+2 2 ＞0

，解出即得a的范圍；
（ii）由（i）知x₁，x₂為方程x⁴+（a+2）x²+1=0的兩根，且結合韋達定理可知，0＜x₁＜1，再由a＜-4，得f（x₁）=

x

2 1

+2lnx₁+aln（1+

x

2 1

）＜

x

2 1

+2lnx₁-4ln（1+

x

2 1

），令g（x₁）=

x

2 1

+2lnx₁-4ln（1+

x

2 1

），利用導數可判斷g（x₁）的單調性，由單調性得g（x₁）＜g（1），整理后即得結論；
（III）a=0時求出f′(x)=2x+

2

x

，f′(xn)=2xn+

2

xn

，則左邊[f'（x）]ⁿ-2^n-1f'（xⁿ）=2ⁿ （

C

1 n

xn-2+

C

2 n

xn-4++…

+C

n-2 n

1

xn-4

+C

n-1 n

1

xn-2

），令S_n=

C

1 n

xn-2+

C

2 n

xn-4++…

+C

n-2 n

1

xn-4

+C

n-1 n

1

xn-2

，利用倒序相加法可得2S_n，再運用基本不等式即可證明；

解答：解：（I）a=-

9

2

時，f（x）=x²+2lnx-

9

2

ln（1+x²）（x＞0），f′（x）=2x+

2

x

-

9x

1+x2

=

(2x2-1)(x2-2)

x(x2+1)

，
當0＜x＜

2

2

時，f′（x）＞0，當

2

2

＜x＜

2

時，f′（x）＜0，當x＞

2

時，f′（x）＞0，
故f（x）_極小=f（

2

）=2+ln2-

9

2

ln3，f（x）_極大=f（

2

2

）=

1

2

+

7

2ln2

-

9

2

ln3．
（II）由（I）計算過程不難計算出f′（x）=

2[x4+(a+2)x2+1]

x(x2+1)

，
令t=x²，故只需t²+（a+2）t+1=0有兩個不同正根，即

△=(a+2)2-4＞0 - a+2 2 ＞0

解得a＜-4，
所以a的范圍為a＜-4．
因此x₁，x₂為方程x⁴+（a+2）x²+1=0的兩根，且結合韋達定理可知，
0＜x₁＜1，再由a＜-4，
所以f（x₁）=

x

2 1

+2lnx₁+aln（1+

x

2 1

）＜

x

2 1

+2lnx₁-4ln（1+

x

2 1

），
令g（x₁）=

x

2 1

+2lnx₁-4ln（1+

x

2 1

），易知g′（x₁）≥0，即g′（x₁）單調遞增，
所以g（x₁）＜g（1）=1-4ln2，從而命題得證．
（III）a=0時，f（x）=x²+ln2x，所以f′(x)=2x+

2

x

，f′(xn)=2xn+

2

xn

，
故左邊[f'（x）]ⁿ-2^n-1f'（xⁿ）=2ⁿ （

C

1 n

xn-2+

C

2 n

xn-4++…

+C

n-2 n

1

xn-4

+C

n-1 n

1

xn-2

），
令S_n=

C

1 n

xn-2+

C

2 n

xn-4++…

+C

n-2 n

1

xn-4

+C

n-1 n

1

xn-2

，
利用倒序相加法可得，2S_n=

C

1 n

（x^n-2+

1

xn-2

）+

C

2 n

（x^n-4+

1

xn-4

）+…+

C

n-2 n

（x^n-4+

1

xn-4

）+

C

n-1 n

（

1

xn-2

+x^n-2）
≥2（

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n-2 n

+

C

n-1 n

）=2（2ⁿ-2），
從而命題得證．

點評：本題考查利用導數研究函數的極值、單調性，考查二次方程根的分布及二項式定理，考查學生綜合運用知識解決問題的能力，解決（III）問的關鍵是利用倒序相加法其S_n．