Question

在如圖所示的多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，G為AD中點．
（1）請在線段CE上找到點F的位置，使得恰有直線BF∥平面ACD，并證明這一事實；
（2）求平面BCE與平面ACD所成銳二面角的大小；
（3）求點G到平面BCE的距離．

Answer 1

分析：解法一：（1）以D點為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，使得x軸和z軸的正半軸分別經(jīng)過點A和點E．分別求出

BF

與平面ACD的法向量（可取

DE

），只要證明

BF

•

DE

=0即可．
（2）分別求平面BCE與平面ACD的法向量的夾角，取其銳角即可．
（3）利用距離公式d=

| BG • n |

| n |

（

n

為平面BCE的法向量）．
解法二：利用純幾何法解．
（1）分別取CE、CD的中點F、H，連接BF、FH、AH，利用三角形的中位線定理和平行四邊形的判定定理及線面平行的判定定理即可證明．
（2）設(shè)所求的二面角的大小為θ，則cosθ=

S△ACD

S△BCE

，利用其公式求出即可．
（3）利用以下轉(zhuǎn)化求出即可V_C-BGE=V_G-BCE

解答：解法一：以D點為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，使得x軸和z軸的正半軸分別經(jīng)過點A和點E，則各點的坐標(biāo)為D（0，0，0），A（2，0，0），E（0，0，2），B（2，0，1），C (1， 

3

， 0)，
（1）點F應(yīng)是線段CE的中點，下面證明：
設(shè)F是線段CE的中點，則點F的坐標(biāo)為F (

1

2

， 

3

2

， 1)，∴

BF

=(-

3

2

， 

3

2

， 0)，取平面ACD的法向量

DE

=(0，0，2)，
則

BF

•

DE

=0，
∴BF∥平面ACD；     
（2）設(shè)平面BCE的法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n

⊥

CB

，且

n

⊥

CE

，
由

CB

=(1，-

3

，1)，

CE

=(-1，-

3

，2)，
∴

x- 3 y+z=0 -x- 3 y+2z=0

，不妨設(shè)y=

3

，則

x=1 z=2

，即

n

=(1，

3

，2)，
∴所求角θ滿足cosθ=

n •(0，0，1)

| n |

=

2

2

，∴θ=

π

4

；     
（3）由已知G點坐標(biāo)為（1，0，0），∴

BG

=(-1，0，-1)，
由（2）平面BCE的法向量為

n

=(1，

3

，2)，
∴所求距離d=|

BG • n

| n |

|=

3

4

2

．                       
解法二：（1）由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥ED，
設(shè)F為線段CE的中點，H是線段CD的中點，
連接FH，則FH∥=

1

2

ED，∴FH∥=AB，
∴四邊形ABFH是平行四邊形，∴BF∥AH，
由BF?平面ACD內(nèi)，AH?平面ACD，∴BF∥平面ACD；
（2）由已知條件可知△ACD即為△BCE在平面ACD上的射影，
設(shè)所求的二面角的大小為θ，則cosθ=

S△ACD

S△BCE

，
易求得BC=BE=

5

，CE=2

2

，
∴S△BCE=

1

2

|CE|×

BE2-( CE 2 )2

=

6

，
而S△ACD=

3

4

|AC|2=

3

，
∴cosθ=

S△ACD

S△BCE

=

2

2

，而0＜θ＜

π

2

，
∴θ=

π

4

；         
（3）連接BG、CG、EG，得三棱錐C-BGE，
由ED⊥平面ACD，∴平面ABED⊥平面ACD，
又CG⊥AD，∴CG⊥平面ABED，
設(shè)G點到平面BCE的距離為h，則V_C-BGE=V_G-BCE即

1

3

S△BGE×GC=

1

3

S△BCE×h，
由S△BGE=

3

2

，S△BCE=

6

，CG=

3

，
∴h=

S△BGE×GC

S△BCE

=

3 2 3

6

=

3

4

2

即為點G到平面BCE的距離．

點評：本題綜合考查了線面平行、二面角及點到平面的距離，解法一是通過建立空間直角坐標(biāo)系利用平面的法向量及數(shù)量積解決的；解法二是純幾何法，利用三角形的中位線定理、平行四邊形的判定定理及線面平行的判定定理，二面角的公式cosθ=

S△ACD

S△BCE

，及等積轉(zhuǎn)化思想解決的．