Question

【題目】已知函數，．

（1）當為何值時，軸為曲線的切線；

（2）用表示中的最小值，設函數，討論零點的個數．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）當或時，由一個零點；當或時，有兩個零點；當時，有三個零點.

【解析】試題分析：（Ⅰ）先利用導數的幾何意義列出關于切點的方程組，解出切點坐標與對應的值；（Ⅱ）根據對數函數的圖像與性質將分為研究的零點個數，若零點不容易求解，則對再分類討論.

試題解析：（Ⅰ）設曲線與軸相切于點，則，，即，解得.

因此，當時，軸是曲線的切線.

（Ⅱ）當時，，從而，

∴在（1，+∞）無零點.

當=1時，若，則，,故=1是的零點；若，則，,故=1不是的零點.

當時，，所以只需考慮在（0,1）的零點個數.

（ⅰ）若或，則在（0,1）無零點，故在（0,1）單調，而，，所以當時，在（0，1）有一個零點；當0時，在（0，1）無零點.

（ⅱ）若，則在（0，）單調遞減，在（，1）單調遞增，故當=時，取的最小值，最小值為=.

①若＞0，即＜＜0，在（0,1）無零點.

②若=0，即，則在（0,1）有唯一零點；

③若＜0，即，由于，，所以當時，在（0,1）有兩個零點；當時，在（0,1）有一個零點.…10分

綜上，當或時，由一個零點；當或時，有兩個零點；當時，有三個零點.