Question

已知向量

a

=(cosx+sinx，

3

cosx)，  

b

=(cosx-sinx，2sinx)，記f(x)=

a

•

b

，  x∈R．
（1）求函數f（x）的最小正周期．
（2）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f（A）=1，且a=1，b+c=2，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）利用兩個向量的數量積公式，兩角和的正弦公式，求出函數 f(x)=

a

•

b

=sin(2x+

π

6

)，從而得到f（x）的最小正周期．
（2）根據f（A）=1，再由sin(2x+

π

6

)=

1

2

，A為△ABC的內角，求出角A的值，由余弦定理求出bc的值，利用S△ABC=

1

2

bcsinA求出△ABC的面積．

解答：解：（1）由題意可得，函數 f(x)=

a

•

b

=cos2x-sin2x+

3

cosx•2sinx=cos2x+

3

sin2x=2sin(2x+

π

6

)，…（5分）
故f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π．…（6分）
（2）∵f（A）=1，
∴sin(2x+

π

6

)=

1

2

，又A為△ABC的內角，
∴

π

6

＜2A+

π

6

＜

13π

6

，
∴2A+

π

6

=

5π

6

，
∴A=

π

3

…（9分）
由余弦定理得b²+c²-a²=bc，
∴（b+c）²-a²=3bc，又a=1，b+c=2
∴bc=1．  …（11分）
∴S△ABC=

1

2

bcsinA=

3

4

．…（13分）

點評：本題主要考查兩個向量的數量積公式，兩角和的正弦公式，以及余弦定理的應用，求出函數 f(x)=

a

•

b

=sin(2x+

π

6

)，是解題的關鍵．