Question

已知向量

a

=(cosθ，sinθ)，

b=

(cos2θ-1，sin2θ)，

c

=(cos2θ，sin2θ-

3

)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求證：

a

⊥

b

；
（2）設(shè)f(θ)=

a

•

c

，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式，計(jì)算出向量

a

與

b

的數(shù)量，再通過三角函數(shù)公式化簡得這個(gè)數(shù)量積等于零，從而得到向量

a

與向量

b

互相垂直；
（2）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式，先得出f(θ)=cosθcos2θ+sinθsin2θ-

3

sinθ，再通過二倍角的三角函數(shù)公式進(jìn)行化簡，得到f(θ)2cos(θ+

π

3

)，最后根據(jù)θ∈（0，π），可以得出函數(shù)f（θ）的值域．

解答：解：（1）根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，得

a

•

b

=(cosθ，sinθ)•(-2sin2θ，2sinθcosθ)
=-2sin²θcosθ+2sin²θcosθ=0    
所以 

a

⊥

b

（2）根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，得
f(θ)=cosθcos2θ+sinθsin2θ-

3

sinθ
=cosθ-

3

sinθ=2cos(θ+

π

3

)
∴θ∈（0，π），
∴

π

3

＜θ+

π

3

＜

4π

3

，
∴f（θ）的值域?yàn)椋篬-2，1）．

點(diǎn)評：本題著重考查了平面向量的數(shù)量積和三角函數(shù)的綜合，屬于中檔題．準(zhǔn)確運(yùn)用向量數(shù)量積的公式和三角函數(shù)有關(guān)公式結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是解決本題的關(guān)鍵．