Question

【題目】已知數列{an}的前n項和．

（1）求數列{an}的通項公式an；

（2）設數列{bn}的前n項和為Tn，滿足b1＝1，．

①求數列{bn}的通項公式bn；

②若存在p，q，k∈N*，p＜q＜k，使得ambq，amanbp，anbk成等差數列，求m+n的最小值．

Answer 1

【答案】(1) an．(2) ①bn＝2n﹣1；②7

【解析】

（1）根據前n項和與通項的關系，即可求出通項公式；

（2）①將代入遞推公式中，用裂項相消求出，再由前n項和求出通項；

②由等差數列的中項性質，求出的不等量關系，結合基本不等式，即可得到最小值．

（1）∵數列{an}的前n項和．

∴當n＝1時，a1＝S1，

當n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1，

當時，a1，滿足上式，

∴an．

（2）①∵

=（）+（）+（）+…+（）

1．

∴1，

∴Tn+1＝2n+1﹣1，Tn＝2n﹣1，

把上面兩式相減得，bn+1＝2n，

∴時，，

當時，滿足上式，

②由ambq，amanbp，anbk成等差數列，

有2amanbp＝ambq+anbk，

即2，

由于p＜q＜k，且為正整數，所以q﹣p≥1，k﹣p≥2，

所以mn＝m+n≥2m+4n，

可得 mn≥2m+4n，1，

的最小值為12，

此時或或，

的最小值為12.