Question

如圖，在平面四邊形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=BD，現將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC，設點F為棱AD的中點．
（1）求證：DC⊥平面ABC；
（2）求直線BF與平面ACD所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）在圖甲中，由AB=BD，且∠A=45°，知∠ADB=45°，AB⊥BD．在圖乙中，由平面ABD⊥平面BDC，知AB⊥底面BDC，由此能夠證明DC⊥平面ABC．
（2）作BE⊥AC，垂足為E．由平面ABC⊥平面ACD，知BF⊥平面ADC，故∠AFE即為直線BF與平面ACD所成角，由此能求出直線BF與平面ACD所成角的余弦值．

解答：（本小題滿分14分）
（1）證明：在圖甲中∵AB=BD，且∠A=45°，
∴∠ADB=45°，∠ABD=90°，
即AB⊥BD，
在圖乙中，∵平面ABD⊥平面BDC，且平面ABD∩平面BDC=BD
∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD．
又∠DCB=90°，∴DC⊥BC，且AB∩BC=B，
∴DC⊥平面ABC．   …（7分）
（2）解：作BE⊥AC，垂足為E．
由（1）知平面ABC⊥平面ACD，又平面ABC∩平面ACD=AC，∴BF⊥平面ADC，
∴∠AFE即為直線BF與平面ACD所成角
設CD=a，得AB=BD=2a，BC=

3

a，AC=

7

a
∴BE=

2 3

7

a，BF=

2

a，FE=

2

14

a，
∴cos∠BFE=

2 14 a

2 a

=

7

7

，
∴直線BF與平面ACD所成角的余弦值為

7

7

．…..（14分）

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的余弦值的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地化空間問題為平面問題．