Question

如圖，在平面四邊形ABCD中，AB=BC=CD=a，∠ABC=90°，∠BCD=135°，沿對角線AC將此四邊形折成直二面角．
（1）求證：AB⊥平面BCD
（2）求三棱錐D-ABC的體積
（3）求點C到平面ABD的距離．

Answer 1

解：（1）∵△ABC中，AB=BC=a，∠ABC=90°，∴∠BAC=∠ACB=45°
∴∠ACD=135°-45°=90°，得AC⊥CD
∵二面角B-AC-D為直二面角
∴平面ACD⊥平面ABC
∵CD⊥AC，平面ACD∩平面ABC=AC，∴DC⊥平面ABC
∵AB⊆平面ABC，∴CD⊥AB
又∵AB⊥BC，BC、CD是平面BCD內的相交直線
∴AB⊥平面BCD
（2）由（1）知DC⊥平面ABC，故DC是三棱角D-ABC的高
∵Rt△ABC的面積S=AB×BC=a²
∴三棱錐D-ABC的體積V=Sh=×a²×DC=a³
（3）設點C到平面ABD的距離為h
Rt△ABD中，BD==
由V_C-ABD=V_D-ABC，得××AB×BD×h=a³
∴h=a
分析：（1）由平面幾何知識，不難算出∠ACD=90°，從而AC⊥CD．因為二面角B-AC-D為直二面角，結合CD⊥AC，可得DC⊥平面ABC，得到CD⊥AB，最后根據線面垂直的判定定理，得到AB⊥平面BCD；
（2）利用等腰三角形ABC作為底面，CD為高，不難用錐體體積公式求出三棱錐D-ABC的體積；
（3）設點C到平面ABD的距離為h，根據三棱錐C-ABD的體積等于三棱錐D-ABC的體積，建立等式并代入題中的數據，解之即可求出點C到平面ABD的距離．
點評：本題以平面翻折問題為例，證明了線面垂直并求幾何體的體積，著重考查了線面垂直的判定與性質、點到平面距離的求法和錐體體積公式等知識，屬于基礎題．