Question

證明函數f（x）=

3

x+1

在[3，5]上單調遞減，并求函數在[3，5]的最大值和最小值．

Answer 1

分析：利用函數的單調性的定義證明函數f（x）=

3

x+1

在[3，5]上單調遞減，并利用函數的單調性求得函數在[3，5]的最大值和最小值．

解答：解：證明：設3≤x₁＜x₂≤5，∵f（x₁）-f（x₂）=

3

x1+1

-

3

x2+1

=

3(x2+1)-3(x1+1)

(x1+1)(x2+1)

=

3(x2-x1)

(x1+1)(x2+1)

，
x₂-x₁＞0，x₁+1＞0，x₂+1＞0，
∴

3(x2-x1)

(x1+1)(x2+1)

＞0，即  f（x₁）＞f（x₂），故函數函數f（x）=

3

x+1

在[3，5]上單調遞減．
故當x=3時，函數取得最大值為

3

4

，當x=5時，函數取得最小值為

1

2

．

點評：本題主要考查函數的單調性的判斷和證明，利用函數的單調性求函數的最值，屬于基礎題．