Question

已知橢圓的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形，直線是拋物線的一條切線．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點的動直線L交橢圓C于A、B兩點.問：是否存在一個定點T，使得以AB為直徑的圓恒過點T ? 若存在，求點T坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）T（0，1）

（Ⅰ）由
因直線相切，，∴，
……2分
∵圓的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角
形，∴                                   …… 4分
故所求橢圓方程為                            ……5分
（Ⅱ）當L與x軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：
當L與x軸垂直時，以AB為直徑的圓的方程：  
由
即兩圓公共點（0，1）
因此，所求的點T如果存在，只能是（0，1）                ……8分
（ⅰ）當直線L斜率不存在時，以AB為直徑的圓過點T（0，1）
（ⅱ）若直線L斜率存在時，可設直線L：
由
記點、           ……10分

 
           
∴TA⊥TB,
綜合（ⅰ）（ⅱ），以AB為直徑的圓恒過點T（0，1）.            ……12分