Question

（2009•盧灣區一模）對于函數f(n)=

1+(-1)n

2

（n∈N^*），我們可以發現f（n）有許多性質，如：f（2k）=1（k∈N^*）等，下列關于f（n）的性質中一定成立的是（　　）

A．f（n+1）-f（n）=1

B．f（n+k）=f（n）（k∈N^*）

C．α^f（n）=f（n+1）+αf（n）（α≠0）

D．α^f（n+1）=α-（α+1）f（n）（α≠0）

Answer 1

分析：對于函數f(n)=

1+(-1)n

2

（n∈N^*），取一些特殊值n=1，2，3，4，…時觀察其函數值的特點，再對選項一一驗證即可．

解答：解：對于函數f(n)=

1+(-1)n

2

（n∈N^*），當n=1，2，3，4，…時的函數值為：0，1，0，1，…
對于A：f（3）-f（2）=-1不成立，故錯；
對于B：f（n+1）≠f（n）不成立，故錯；
對于C：α^f（n）=

α，n為偶數 1，n為奇數

，f（n+1）+αf（n）=

α，n為偶數 1，n為奇數

成立，故正確；
對于D：α^f（n+1）=α-（α+1）f（n）（α≠0）不成立，故錯；
故選C．

點評：本小題主要考查函數的表示方法、函數周期性的應用、數列的表示方法等基礎知識，考查運算求解能力與轉化思想．屬于基礎題．