Question

在平面直角坐標系xOy中，設A、B是雙曲線x2-

y2

2

=1上的兩點，M（1，2）是線段AB的中點，線段AB的垂直平分線與雙曲線相交于C、D兩點．
（1）求直線AB與CD的方程；
（2）判斷A、B、C、D四點是否共圓？若共圓，請求出圓的方程；若不共圓，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設A（x₁，y₁），則B（2-x₁，4-y₁），代入雙曲線方程，即可求出A、B的坐標，從而可得AB、CD的方程；
（2）A、B、C、D四點共圓，證明由三點A、B、C可先確定一個圓，再檢驗證D滿足方程即可．

解答：解：（1）設A（x₁，y₁），則B（2-x₁，4-y₁），代入雙曲線x2-

y2

2

=1得

x12- y12 2 =1，   (2-x1)2- (4-y1)2 2 =1，

解得

x1=-1，  y1=0

或

x1=3，  y1=4，

即A、B的坐標為（-1，0）、（3，4），所以AB的方程為

y-0

4-0

=

x+1

3+1

，即y=x+1，
∵A，B的中點為（1，2），
∴CD的方程為：y-2=-（x-1），即y=-x+3；
（2）A、B、C、D四點共圓，下證之：
證明：由y=-x+3與x2-

y2

2

=1聯立方程組可得C、D的坐標為(-3-2

5

，  6+2

5

)、(-3+2

5

，  6-2

5

)，
由三點A、B、C可先確定一個圓，設圓心坐標為O′（a，-a+3），由|O′A|=|O′B|=|O′C|，可得（a+1）²+（-a+3）²=（a-3）²+（-a-1）²=(a+3+2

5

)2+(-a-3-2

5

)2，∴a=-3，∴圓心坐標為（-3，6），半徑為2

10

∴圓的方程為（x+3）²+（y-6）²=40①，
檢驗D(-3+2

5

，  6-2

5

)適合①式，所以A、B、C、D四點共圓．
（注：本題亦可以利用圓的幾何性質判斷四點共圓）

點評：本題主要考查求雙曲線、直線、圓等基礎知識，考查運算求解與探究能力．