Question

【題目】如圖，在三棱柱中， 為的中點， ， .

（1）求證： 平面；

（2）當時，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】【試題分析】（1）依據題設條件運用直線與平面平行的判定定理進行分析推證；（2）依據題設條件建立空間直角坐標系，借助向量的有關知識與數量積公式分析求解：

（1）證明：

連結與相交于點，連結.

∵為中點，∴，

又∵平面平面，

∴平面.

（2）∵，

∴，∴，

又∵平面平面，

∴平面，

∴平面平面.

如圖，過在平面內作，垂足為．

∵平面平面，平面平面，

∴平面．

以點為原點， 的方向分別為軸、軸、軸正方向，建立空間直角坐標系，得下列坐標：

．

設平面的一個法向量，則

，∴，解之得．

∴．

又∵．∴，

所以直線與平面所成角的正弦值為．