Question

已知函數，其中，
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
（2）討論的單調性；
（3）若有兩個極值點和，記過點的直線的斜率為，問是否存在，使得？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）；（2）分別在上單調遞增，在上單調遞減；（3）不存在，使得.

試題分析：（1）當時，，那么曲線在點處的切線的斜率，根據點斜式寫出直線的方程為；（2）函數求導得，
由于函數的定義域是，因此只需要討論分子在上的正負問題；（3）假設存在，使得，那么計算出，問題歸結為是否成立，可設函數， ，所以在上單調遞增，因此不存在，使得.
試題解析：（1）當時，，所以 
， ，
又因為切線過，所以切線方程為 
（2）的定義域為，
令，其判別式     
①當，故上單調遞增
② 當，的兩根都小于0，在上，，故上單調遞增．     
③當，設的兩根為，  
當時， ；當時， ；當時， ，故分別在上單調遞增，在上單調遞減．
（3）由（2）可知：當在上有兩個極值點 
因為
所以   
由（2）可知：，于是，
若存在，使得，則，即，
亦即   
設函數，
當時， ，所以在上單調遞增，
而，所以，
這與式矛盾．故不存在，使得