Question

已知函數f(x)＝－x³＋x²，g(x)＝aln x，a∈R.
(1)若對任意x∈[1，e]，都有g(x)≥－x²＋(a＋2)x恒成立，求a的取值范圍；
(2)設F(x)＝若P是曲線y＝F(x)上異于原點O的任意一點，在曲線y＝F(x)上總存在另一點Q，使得△POQ中的∠POQ為鈍角，且PQ的中點在y軸上，求a的取值范圍．

Answer 1

（1）(－∞，－1]（2）(－∞，0]

(1)由g(x)≥－x²＋(a＋2)x，得(x－ln x)a≤x²－2x..
由于x∈[1，e]，ln x≤1≤x，且等號不能同時取得，所以ln x＜x，x－ln x＞0.
從而a≤恒成立，a≤_min.(4分)
設t(x)＝，x∈[1，e]．求導，得t′(x)＝.(6分)
x∈[1，e]，x－1≥0，ln x≤1，x＋2－2ln x＞0，從而t′(x)≥0，t(x)在[1，e]上為增函數．
所以t(x)_min＝t(1)＝－1，所以a的取值范圍是(－∞，－1]．(8分)
(2)F(x)＝
設P(t，F(t))為曲線y＝F(x)上的任意一點．
假設曲線y＝F(x)上存在一點Q(－t，F(－t))，使∠POQ為鈍角，
則＜0.(10分)
①若t≤－1，P(t，－t³＋t²)，Q(－t，aln(－t))，＝－t²＋aln(－t)·(－t³＋t²)．
由于＜0恒成立，a(1－t)ln(－t)＜1.
當t＝－1時，a(1－t)ln(－t)＜1恒成立．
當t＜－1時，a＜恒成立．由于＞0，所以a≤0.(12分)
②若－1＜t＜1，且t≠0，P(t，－t³＋t²)，Q(－t，t³＋t²)，則＝－t²＋(－t³＋t²)·(t³＋t²)＜0，
即t⁴－t²＋1＞0對－1＜t＜1，且t≠0恒成立．(14分)
③當t≥1時，同①可得a≤0.
綜上所述，a的取值范圍是(－∞，0]．(16分)