Question

【題目】已知雙曲線的右頂點為, 以為圓心的圓與雙曲線的某一條漸近線交于兩點.若,且（其中為原點），則雙曲線的離心率為（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

設雙曲線的一條漸近線方程為x，A（a，0），P（m，），（m＞0），由向量共線的坐標表示，可得Q的坐標，求得弦長|PQ|，運用中點坐標公式，可得PQ的中點坐標，由兩直線垂直的條件：斜率之積為﹣1，可得m，r，運用圓的弦長公式計算即可得到a，b的關系，再由離心率公式計算即可得到所求值．

解：設雙曲線的一條漸近線方程

為yx，A（a，0），

P（m，），（m＞0），

由3，可得Q（3m，），

圓的半徑為r＝|PQ|2m，

PQ的中點為H（2m，），

由AH⊥PQ，可得，

解得m，r．

A到漸近線的距離為d，

則|PQ|＝2r，

即為dr，即有．

可得，

e．

另解：可得△PAQ為等邊三角形，

設OP＝x，可得＝3x，PQ＝2x，

設M為PQ的中點，可得PM＝x，AMx，

tan∠MOA，

則e．

故選：C．