Question

設(shè)數(shù)列，，若以為系數(shù)的二次方程:都有根滿足.
（1）求證：為等比數(shù)列
（2）求.
（3）求的前項(xiàng)和.

Answer 1

（1）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析；（2）；（3）.

解析試題分析：本題考查等差數(shù)列等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力和推理論證能力.第一問(wèn)，利用根與系數(shù)關(guān)系，得到兩根之和、兩根之積，代入到中，得到和的關(guān)系式，再用配湊法，湊出一個(gè)新的等比數(shù)列；第二問(wèn)，利用第一問(wèn)的結(jié)論，先求出新數(shù)列的通項(xiàng)公式，再求；第三問(wèn)，用分組求和的方法，分別是等比數(shù)列和等差數(shù)列，直接用前n項(xiàng)和公式求和即可.
試題解析：（1）∵都有根滿足，
∴，
∴，
∴，
∴
∴
∴，而，
∴是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.
（2）∵，∴.
（3）



.
考點(diǎn)：1.根與系數(shù)的關(guān)系；2.配湊法求通項(xiàng)公式；3.分組求和；4.等差等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.