Question

【題目】如圖，公園內有一塊邊長為的正三角形空地，擬改建成花園，并在其中建一直道方便花園管理. 設分別在上，且均分三角形的面積.

（1）設（），，試將表示為的函數關系式；

（2）若是灌溉水管，為節約成本，希望其最短，的位置應在哪里？若是參觀路線，希望其最長，的位置應在哪里？

Answer 1

【答案】（1）；（2）當取且時，最短；當與重合且為中點，或與重合且為中點時，最長

【解析】

（1）根據均分三角形的面積可得，即得，再由余弦定理可得表達式；（2）令，設，用定義討論函數單調性，求得的最大值和最小值，再由（1）中得到的關系式，可得的最大值和最小值.

（1）均分三角形的面積，，，即，

在中，由余弦定理得，

因為，所以 解得，

故關于的函數關系式為.

（2）由（1），令，則，且.設.

若，則，

所以在上是減函數. 同理可得在上是增函數.

于是當即時，代入解得：，此時，且，

當或即或時，代入解得：，此時為或上的中線.

故當取，且時，最短；

當與重合且為中點，或與重合且為中點時，最長.