Question

已知函數f(x)=a-是偶函數,a為實常數.
(1)求b的值.
(2)當a=1時,是否存在n>m>0,使得函數y=f(x)在區間[m,n]上的函數值組成的集合也是[m,n],若存在,求出m,n的值,否則,說明理由.

Answer 1

(1) b=0   (2) 不存在，理由見解析

(1)由已知,可得f(x)=a-的定義域為D=(-∞,)∪(,+∞).
又y=f(x)是偶函數,故定義域D關于原點對稱.
于是,b=0(否則,當b≠0時,有-∈D且D,即D必不關于原點對稱).
又對任意x∈D,有f(x)=f(-x),可得b=0
因此所求實數b=0.
(2)由(1),可知f(x)=a-(D=(-∞,0)∪(0,+∞)).
考察函數f(x)=a-的圖象,可知:f(x)在區間(0,+∞)上是增函數,
又n>m>0,
∴y=f(x)在區間[m,n]上是增函數.
因y=f(x)在區間[m,n]上的函數值組成的集合也是[m,n].
∴有
即方程1-=x,也就是2x²-2x+1=0有兩個不相等的正根.
∵Δ=4-8<0,∴此方程無解.
故不存在正實數m,n滿足題意.