Question

【題目】已知f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數和偶函數，且f（x）+g（x）=3x ．
（1）求 f（x），g（x）；
（2）若對于任意實數t∈[0，1]，不等式f（2t）+ag（t）＜0恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）若存在m∈[﹣2，﹣1]，使得不等式af（m）+g（2m）＜0成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）、g（x）分別是奇函數、偶函數，

∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），

令x取﹣x，代入f（x）+g（x）=3x ①，

f（﹣x）+g（﹣x）=3﹣x，即﹣f（x）+g（x）=3﹣x ②，

由①②解得，f（x）= ，g（x）=

（2）解：由（1）可得，不等式f（2t）+ag（t）＜0為：

不等式 +a ＜0，

化簡得，（3t﹣3﹣t）+a＜0，即a＜﹣3t+3﹣t，

∵任意實數t∈[0，1]，不等式f（2t）+ag（t）＜0恒成立，

且函數y=﹣3t+3﹣t在[0，1]上遞減，∴y≥ ，即a＜

則實數a的取值范圍是（﹣∞， ）

（3）解：由（1）可得，不等式af（m）+g（2m）＜0為：

a + ＜0，

∵m∈[﹣2，﹣1]，∴ ，則化簡得，

a＞ = = ，

令t=3﹣m﹣3m，∵m∈[﹣2，﹣1]，∴t∈[ ， ]，

則a＞ ，

∴存在m∈[﹣2，﹣1]，使得不等式af（m）+g（2m）＜0成立等價于：

存在t∈[ ， ]，使得不等式a＞ 成立，

∵ =2 ，當且僅當 ，即t= 時取等號，

∴函數y= 在[ ， ]遞增，則函數y= 的最小值是 ，

即a＞ ，故實數a的取值范圍是（ ，+∞）

【解析】（1）將﹣x代入已知等式，利用函數f（x）、g（x）的奇偶性，得到關于f（x）與g（x）的又一個方程，將二者看做未知數解方程組，解得f（x）和g（x）；（2）由（1）和t的范圍化簡不等式f（2t）+ag（t）＜0，分離出a后構造函數，由指數函數的單調性求出最小值，根據恒成立求出實數a的取值范圍；（3）由（1）和m的范圍化簡不等式af（m）+g（2m）＜0，分離出a后構造函數，利用換元法法，由函數的單調性求出最小值，根據存在性問題求出實數a的取值范圍；
【考點精析】掌握函數奇偶性的性質是解答本題的根本，需要知道在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．