Question

AB為拋物線y=x²上的動(dòng)弦，且|AB|=a（a為常數(shù)且a≥1），求弦AB的中點(diǎn)M離x軸的最近距離.

Answer 1

最近距離為(2a-1).

如圖所示，設(shè)A、M、B點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為y₁、y₂、y₃，A、M、B三點(diǎn)在拋物線上的射影分別為A′、M′、B′.由拋物線的定義，
|AF|=|AA′|=y₁+，
|BF|=|BB′|=y₃+，
∴y₁=|AF|-，y₃=|BF|-.

又M是線段AB的中點(diǎn)，∴y₂=(y₁+y₃)=(|AF|+|BF|-)≥×(|AB|-)=(2a-1)，
等號(hào)成立的條件是A、F、B三點(diǎn)共線，即AB為焦點(diǎn)弦.
∴最近距離為(2a-1).