Question

【題目】設函數， .

（Ⅰ）判斷函數零點的個數，并說明理由；

（Ⅱ）記，討論的單調性；

（Ⅲ）若在恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ） 時， 在單調遞減， 時， 在單調遞減，在單調遞增；（Ⅲ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意知，∴，

故在單調遞增，又 ，因此函數在內存在零點.

所以的零點的個數為1.

（Ⅱ）由題意， ，分時和 兩種情況討論，可知的單調性；

（Ⅲ）由題意： ，

問題等價于在恒成立，

討論可知， ，

即當在恒成立時，必有.

當時，設，

①若，則時，， 不恒成立.

②若,即時， 在恒成立.

試題解析：（Ⅰ）由題意知，∴，

故在單調遞增，

又， ，

因此函數在內存在零點.

所以的零點的個數為1.

（Ⅱ），

，

當時， ， 在上單調遞減；

當時，由，解得（舍去負值），

所以時， ， 單調遞減，

時， ， 單調遞增.

綜上時， 在單調遞減，

時， 在單調遞減，在單調遞增.

（Ⅲ）由題意： ，

問題等價于在恒成立，

設，

若記，

則，

當時， ，

在單調遞增，

，

即，

若，由于，故，故，

即當在恒成立時，必有.

當時，設，

①若，則時，

由（Ⅱ）知， 單調遞減， ， 單調遞增，

因此，而，

即存在，使，

故當時， 不恒成立.

②若，即時，

設，

，

由于且，

即，故，

因此，

故在單調遞增.

所以時，

即時， 在恒成立.

綜上： ， 在恒成立.