Question

已知直線y=kx（k＞0）與函數y=2sin（x-

π

6

）的圖象（如圖所示）有且僅有兩個公共點，若這兩個公共點的橫坐標分別為α、β，且β＜α，則下列結論中正確的是（　　）

• A、tan（α-

  π

  6

  ）=β
• B、tan（β-

  π

  6

  ）=α
• C、tan（α-

  π

  6

  ）=α
• D、tan（β-

  π

  6

  ）=β

Answer 1

分析：欲判別選項的正誤，只須利用直接法求解即可，故先利用導數求出在切點處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率，最后將切點的坐標代入切線方程即可使問題解決．

解答：解：∵直線y=kx（k＞0）與函數y=2sin（x-

π

6

）的圖象相切，
∴y′=2cos（x-

π

6

），
所以切線方程為y=2xcos（α-

π

6

）．
將切點的坐標（α，2sin（x-

π

6

））代入切線方程得：
∴tan（α-

π

6

）=α．
故選C．

點評：本小題主要考查已知三角函數模型的應用問題、導數的幾何意義、利用導數研究曲線上某點切線方程等基礎知識，考查運算求解能力．