Question

【題目】如圖，多面體中，底面為菱形，，，，，且平面底面，平面底面．

（1）證明：平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

(1)要證平面，將其轉(zhuǎn)化到的平行線上，分別過點作的垂線，垂足為，連接，過點作，垂足為，下證，繼而求證結(jié)果

(2)以為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面的法向量和平面的法向量，運用二面角夾角公式求出結(jié)果

（1）分別過點作的垂線，垂足為，連接

因為平面底面，平面底面，

所以平面，又平面，

所以．

同理可證，平面，所以.

過點作，垂足為

在中，，，則

又，所以，又，

所以四邊形為平行四邊形，則.

從而，又，

所以平面，故平面.

（2）以為原點，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

由（1）知，則，，，，

所以，，.

設(shè)平面的一個法向量為，則，即，

解得

令，則，，所以.

設(shè)平面的一個法向量為，則，即，

解得

令，則，，所以.

從而，故二面角的余弦值為.