Question

設定義域為R₊的函數f（x），對任意的正實數x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y），且當x＞1時有f（x）＞0．
①求f（1）的值；
②判斷f（x）在（0，+∞）上的單調性，并證明．
③若f（

1

a

）=-1，求滿足不等式f（1-x-2x²）≤1的x的取值范圍．

Answer 1

①令x=y=1，則f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．
②f（x）在（0，+∞）上的是增函數，
設x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＞x₂，則

x1

x2

＞1，
∴f（

x1

x2

）＞0，
∴f(x1)-f(x2)=f(x2?

x1

x2

)-f(x2)=f(x2)+f(

x1

x2

)-f(x2)=f(

x1

x2

)＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上的是增函數．
③∵f（xy）=f（x）+f（y），
∴令y=

1

x

，則f（1）=f（x）+f（

1

x

）=0，
又f（

1

a

）=-1，
∴f（a）=1，
由②知，f（x）在（0，+∞）上的是增函數．
∴不等式f（1-x-2x²）≤1等價為f（1-x-2x²）≤f（a），
則

1-x-2x2＞0，(1) 1-x-2x2≤a，(2)

由不等式（1）得-1＜x＜

1

2

，
∵不等式（2）可化為：2x²+x+a-1≥0，
1⁰當△=9-8a≤0，即a≥

9

8

時，不等式（2）恒成立，此時，所求解集為x∈(-1，

1

2

)．
2⁰當△=9-8a＞0時，又∵a＞0，∴0＜a＜

9

8

．
此時，不等式（2）的解為x≤

-1- 9-8a

4

或x≥

-1+ 9-8a

4

．
又∵0＜a＜

9

8

，
∴0＜9-8a＜9，
∴-1＜

-1- 9-8a

4

＜

-1+ 9-8a

4

＜

1

2

．
∴此時所求解集為：x∈(-1，

-1- 9-8a

4

]∪[

-1+ 9-8a

4

，

1

2

)．
綜上，當a≥

9

8

時，所求解集為x∈(-1，

1

2

)
當0＜a＜

9

8

時，所求解集為：x∈(-1，

-1- 9-8a

4

]∪[

-1+ 9-8a

4

，

1

2

)．