Question

【題目】已知在梯形中， 平面，且，點在上，且.

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）連接交于點，利用平幾知識可得,再根據相似比得.最后根據線面平行判定定理得平面.（2）求二面角大小,一般利用空間向量數量積:先根據條件建立空間直角坐標系,設立各點坐標,列方程組求各平面法向量,利用向量數量積求兩法向量夾角,最后根據二面角與法向量夾角關系求二面角.

試題解析：解： （Ⅰ）連接交于點，連接,如圖①所示.

∵，∴.

∵,∴，

∴.

∵平面平面，

∴平面.

（Ⅱ）設∵且平面，故以為原點，過點與平行的直線為軸，

所在直線為軸， 所在直線為軸，建立空間直角坐標系如圖②所示，則

.

由，得，得.

解得，即,

.

設是平面的一個法向量，則

令，則，即.

取的中點，記為，連接，

易求得的坐標為，

∴ .

由,得，

由底面，得，

又，∴平面.

∴是平面的一個法向量.

∴.

由圖可知二面角為銳二面角，

∴二面角的余弦值為.