Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，焦點在x軸上的橢圓C： =1經過點（b，2e），其中e為橢圓C的離心率．過點T（1，0）作斜率為k（k＞0）的直線l交橢圓C于A，B兩點（A在x軸下方）．

（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過點O且平行于l的直線交橢圓C于點M，N，求 的值；
（3）記直線l與y軸的交點為P．若 = ，求直線l的斜率k．

Answer 1

【答案】
（1）

解：因為橢圓橢圓C： =1經過點（b，2e）所以 ．

因為e2= ，所以 ，

又∵a2=b2+c2， ，解得b2=4或b2=8（舍去）．

所以橢圓C的方程為

（2）

解：設A（x1，y1），B（x2，y2）．

因為T（1，0），則直線l的方程為y=k（x﹣1）．

聯立直線l與橢圓方程 ，消去y，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣8=0，

所以x1+x2= ，x1x2= ．

因為MN∥l，所以直線MN方程為y=kx，

聯立直線MN與橢圓方程

消去y得（2k2+1）x2=8，

解得x2=

因為MN∥l，所以

因為（1﹣x1）（x2﹣1）=﹣[x1x2﹣（x1+x2）+1]= ．

（xM﹣xN）2=4x2= ．

所以 =

（3）

解：在y=k（x﹣1）中，令x=0，則y=﹣k，所以P（0，﹣k），

從而 ，

∵ = ， …①

由（2）知 …②

由①②得 50k4﹣83k2﹣34=0，解得k2=2或k2=﹣ （舍）．

又因為k＞0，所以k=

【解析】（1）由題意得e2= ， ．又a2=b2+c2 ， ，解得b2；（2）設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．設直線l的方程為y=k（x﹣1）．
聯立直線l與橢圓方程 ，消去y，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣8=0，可設直線MN方程為y=kx，聯立直線MN與橢圓方程 ，消去y得（2k2+1）x2=8，由MN∥l，得
由（1﹣x1）（x2﹣1）=﹣[x1x2﹣（x1+x2）+1]= ．得（xM﹣xN）2=4x2= ．即可． （3）在y=k（x﹣1）中，令x=0，則y=﹣k，所以P（0，﹣k），從而 ，由 = 得 …①，由（2）知 …②由①②得 50k4﹣83k2﹣34=0，解得k2
【考點精析】認真審題，首先需要了解橢圓的標準方程(橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：)．