Question

（2012•楊浦區二模）已知數列A_n：a₁，a₂，…，a_n．如果數列B_n：b₁，b₂，…，b_n滿足b₁=a_n，b_k=a_k-1+a_k-b_k-1，其中k=2，3，…，n，則稱B_n為A_n的“生成數列”．
（1）若數列A₄：a₁，a₂，a₃，a₄的“生成數列”是B₄：5，-2，7，2，求A₄；
（2）若n為偶數，且A_n的“生成數列”是B_n，證明：B_n的“生成數列”是A_n；
（3）若n為奇數，且A_n的“生成數列”是B_n，B_n的“生成數列”是C_n，…．依次將數列A_n，B_n，C_n，…的第i（i=1，2，…，n）項取出，構成數列Ω_i：a_i，b_i，c_i，…證明：數列Ω_i是等差數列，并說明理由．

Answer 1

分析：本題是新定義問題．
對于（1），根據題目給出的新定義，列有關a₁，a₂，a₃，a₄，的方程組求解；
對于（2），可采用兩種證明方法，方法①可根據題目給出的條件，b₁=a_n，b_k=a_k-1+a_k-b_k-1，分析歸納得到想bi=ai+(-1)i(a1-an)，然后用數學歸納法證明該式成立，由此衍生新生成數列C_n，進一步說明C_n就是A_n，也可依據已知寫出b₁=a_n，b₁+b₂=a₁+a₂，b₂+b₃=a₂+a₃…，消去偶數式求證；
對于（3），欲證數列Ω_i是等差數列，可設數列X_n，Y_n，Z_n中后者是前者的“生成數列”．欲證Ω_n成等差數列，只需證明x_n，y_n，z_n成等差數列，即只要證明2y_i=x_i+z_i（i=1，2，…，n）即可．

解答：解：（1）由題意得，b₁=a₄=5，b₂=-2=a₂+a₁-5，b₃=7=a₃-a₁+5，b₄=2=a₄+a₁-5，
所以A₄：2，1，4，5
（2）證法一：
證明：由已知，b₁=a₁-（a₁-a_n），b₂=a₁+a₂-b₁=a₂+（a₁-a₂）
因此，猜想bi=ai+(-1)i(a1-an)
①當i=1時，b₁=a₁-（a₁-a_n），猜想成立；
②假設i=k（k∈N^*時，bk=ak+(-1)k(a1-an)．
當i=k+1時，bk=ak+ak+1-[ak+(-1)k(a1-an)]
=ak+ak+1-ak-(-1)k(a1-an)
=ak+1+(-1)k(a1-an)
故當i=k+1時猜想也成立．
由 ①、②可知，對于任意正整數i，有bi=ai+(-1)i(a1-an)．
設數列B_n的“生成數列”為C_n，則由以上結論可知
ci=bi+(-1)i(b1-bn)=ai+(-1)i(a1-an)+(-1)i(b1-bn)，其中i=1，2，3…n．
由于n為偶數，所以bn=an+(-1)n(a1-an)=a1，
所以ci=ai+(-1)i(a1-an)+(-1)i(an-a1)=ai，其中i=1，2，3，…，n．
因此，數列C_n即是數列A_n．
證法二：
因為b₁=a_n，b₁+b₂=a₁+a₂，b₂+b₃=a₂+a₃，
…b_n-1+b_n=a_n-1+a_n，…
由于n為偶數，將上述n個等式中的第2，4，6，…，n這

n

2

個式子都乘以-1，相加得
b₁-（b₁+b₂）+（b₂+b₃）-…-（b_n-1+b_n）=a_n-（a₁+a₂）+（a₂+a₃）-…-（a_n-1+a_n）
即-b_n=-a₁，∴b_n=a₁．
由于a₁=b_n，a_i=b_i-1+b_i-a_i-1（i=1，2…，n）
根據“生成數列”的定義知，數列A_n是B_n的“生成數列”．
（3）證明：設數列X_n，Y_n，Z_n中后者是前者的“生成數列”．欲證Ω_n成等差數列，只需證明x_n，y_n，z_n成等差數列，即只要證明2y_i=x_i+z_i（i=1，2，…，n）即可
由（2）中結論可知yi=xi+(-1)i(x1-xn)，
zi=yi+(-1)i(y1-yn)
=xi+(-1)i(x1-xn)+(-1)i(y1-yn)
=xi+(-1)i(x1-xn)+(-1)i[xn-xn-(-1)n(x1-xn)]
=xi+(-1)i(x1-xn)+(-1)i(x1-xn)
=xi+2(-1)i(x1-xn)，
所以，xi+zi=2xi+2(-1)i(x1-xn)=2yi，即x_i，y_i，z_i成等差數列，
所以Ω_n是等差數列．

點評：本題考查數列的綜合應用，解題時要認真審題，仔細解答，避免錯誤．