Question

已知函數f(x)＝x³＋x－16，
(1)求曲線y＝f(x)在點(2，－6)處的切線的方程；
(2)直線l為曲線y＝f(x)的切線，且經過原點，求直線l的方程及切點坐標；

Answer 1

(1) y＝13x－32. (2)直線l的方程為y＝13x，切點坐標為(－2，－26)．

解析試題分析：(1)∵f(2)＝2³＋2－16＝－6，                          2分
∴點(2，－6)在曲線上．
∵f′(x)＝(x³＋x－16)′＝3x²＋1，                 
∴在點(2，－6)處的切線的斜率為
k＝f′(2)＝3×2²＋1＝13.                                   4分
∴切線的方程為y＝13(x－2)＋(－6)．
即y＝13x－32.                                           6分
(2)設切點為(x₀，y₀)，
則直線l的斜率為f′(x₀)＝3 x₀²＋1，                         8分
∴直線l的方程為：
y＝(3 x₀²＋1)(x－x₀)＋x₀²＋x₀－16.
又∵直線l過點(0,0)，
∴0＝(3 x₀²＋1)(－x₀)＋x₀²＋x₀－16，                         10分
整理得x₀²＝－8，
∴x₀＝－2，y₀＝(－2)³＋(－2)－16＝－26，
∴k＝3(－2)²＋1＝13，                                     12分
∴直線l的方程為y＝13x，切點坐標為(－2，－26)．           13分
考點：本題考查了導數的運用
點評：函數y=f(x)在點x₀處的導數的幾何意義，就是曲線y=f(x)在p(x₀, f(x₀))處的切線的斜率f^'(x₀).相應地，切線方程為 y-y₀= f^' (x₀)(x-x₀).